Matemáticas Y Diversión 26. Soluciones A Los Problemas Anteriores

Bueno, una vez más intento abordar con seriedad y con la más artesanal y analógica de mis letras, las soluciones a los problemas que compartía hace unos días.

Cuando me ha sido posible, he acometido dos niveles de complejidad, el propio de EGB/ESO y otro más avanzado, con alguna herramienta adicional. Los problemas están en el mismo orden que en la publicación anterior:

Primero el de la condenada cajita de cartón.

Luego el de las insidiosas monedas con la cara de Pitágoras.

Y para terminar, el de los mareantes círculos inscritos.

Matemáticas Y Diversión 25. La Olimpiada Matemática

Me cuenta el paseador de perros del grupo de trabajo que elabora el informe de recomendaciones para el Pacto Social y Político por la Educación que, una vez establecida la imprescindible atonía igualitaria en el sector, él, que fue a los maristas de Zaragoza y casi llegó a participar en el programa televisivo "Cesta y puntos" como zaguero de los empollones de su colegio, echa de menos con un punto de nostalgia, dice, algún escondido signo de excelencia educativa.

Comparto su desdichado y anacrónico parecer y, a mi vez, recuerdo con melancolía las olimpiadas matemáticas que la consejería de educación de mi comunidad se dignaba organizar en los años noventa.

Siempre soñé apacentar a un despierto grupito de alumnos, de E.G.B o Secundaria, aficionados a pelearse con los problemas de álgebra, geometría, razonamiento numérico, proporcionalidad y otros aromáticos frascos que encierran las esencias de las denostadas matemáticas elementales. Nunca tuve esa suerte o no fui un profesor lo suficientemente bueno para desarmar la tibia indolencia de mis pupilas y pupilos.

El caso es que encuentro y ojeo un cuadernillo, el correspondiente a la edición de 1997, éste:

Y decido subir los tres problemillas que me han hecho más gracia. De paso, el lector o la lectriz aficionados a perder el tiempo con estos menesteres y afanes, pueden comprobar el grado de oxidación de su nivel en esta apasionante materia.

Más tarde, me entero de que la celebración de este certamen no se ha extinguido, como yo presumía y va, ya, por la XXVII edición. Buf, por lo que veo, llevo demasiado tiempo fuera del planeta... O atendiendo en exceso a los medios de corrupnicación, que jamás tocan estos temas tan anodinos.

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Ahora, eso sí, juro por la Santa Molleja de las gallinas cuyos huevos fueron empleados para hacer la tortilla de patatas de la Última Cena, que colgaré las soluciones  en tres o cuatro días. Diviértete colega. Y si no das con los resultados, enhorabuena, habrás demostrado que tienes algún tipo de aptitud como cargo político en cualquier departamento de  educación en, al menos, diecisiete comunidades.

Sepa Si Es Usted Amorfo O Apático

No pinta nada mal la posibilidad de clasificar a las personas, por sus rasgos de personalidad o carácter, en unos pocos tipos, cuyo conocimiento nos hiciera al prójimo más previsible, más manejable o, bueno, nos diera una herramienta de conocimiento y de poder sobre los demás, herramienta que facilitaría el cumplimiento de nuestros propósitos, tanto los más aviesos como los más bienintencionados.

Me apasionaba en otro tiempo con los manuales de Grafología, Astrología y otras peripecias de la pretensión de conocer el carácter o la personalidad de alguien, tan sólo viendo un texto de su puño y letra, o sabiendo el día y la hora en que su madre lo arrojó a este mundo traidor (donde nada es verdad ni es mentira y todo es según el color del cristal con que se mira).

Claro, el chiste está en que si conocemos o nos relacionamos con un par de centenares de personas, resulta muy desorientadora una tipología con doscientas personalidades diversas, que es lo que nos ofrece el mundo real, donde aunque todos somos muy parecidos, todos somos muy distintos.

Reducir semejante tropel a unos cuantos tipos básicos es lo que los psicólogos han intentado desde que los conozco y, de un manual de Psicología General que estudiaba de joven, procede este peculiar delirio, avalado por una escuela francesa de esta clase de cotilleos, iniciada por un tal Heymans.

Debo confesar que soy muy aficionado a las lucubraciones de todo tipo de charlatanes, cuando de niño iba a las ferias, se me caía la baba ante el rollo de cualquier vendedor de linternas, grageas curativas, paraguas o crecepelo, por lo tanto, la promesa de conocerme a mí mismo y a mis semejantes, con un patrón sencillo que da lugar a una tipología con tan sólo ocho caracteres principales, es muy atractiva (el popular horóscopo tiene doce).

Dicen los referidos psicólogos franceses que los rasgos esenciales del carácter son sólamente tres:

1. La emotividad: será emotivo aquél en el que los acontecimientos externos desaten reacciones emocionales intensas y será no emotivo aquel en el que la repercusión emocional de lo que le acontece sea más débil o controlable. No consigues un ascenso que esperabas, si eres emotivo, te hundes en la depresión, te emborrachas, no pegas ojo o rompes objetos de cerámica, si no lo eres, piensas, ellos se lo pierden, que les den... Un dueño poco escrupuloso le da una patada a su perrito porque se ha puesto muy pesado: al emotivo el espectáculo del maltrato le parte el corazón y su día se echa a perder, el no emotivo piensa "bah, no es mío".

2. La actividad: será activo el que reaccione ante los deseos y frustraciones poniéndose en marcha y no activo quien confía en que el destino está de su lado (o en su contra) y todo se resolverá esperando a ver qué pasa. Una persona activa trata, eso, de actuar para definir y alcanzar sus propósitos, mientras la persona no activa piensa que su esfuerzo es inútil y vale más combatir el aburrimiento en el sofá, viendo la tele, que hacer réplicas con palillos de la torre Eiffel (no olvidemos que los teóricos de este asunto son franceses).

3. La resonancia o repercusión, según la cual será primaria la persona de reacciones inmediatas, intuitivas y rápidas, la que responde a bote pronto y en el presente y secundaria aquélla que tiende a reaccionar de modo sosegado, reflexivo y más lento, con mayor peso de la experiencia pasada y las consecuencias futuras. Si a un tipo primario le cae una colleja, protestará de viva voz y tratará de devolverla en el acto, con lo que se quedará tan ancho; uno secundario puede encajarla sin reaccionar en apariencia y urdir una rencorosa venganza, durante semanas o meses, hasta que consiga arruinar la vida de su agresor.

Estas tres características dan 2x2x2 = 8 tipos psicológicos distintos, según las vayamos combinando de todos los modos posibles:

Emotivo. Activo. Primario = Colérico.
Emotivo. Activo. Secundario = Apasionado.
Emotivo. No Activo. Primario = Nervioso.
Emotivo. No Activo. Secundario = Sentimental.
No Emotivo. Activo. Primario = Sanguíneo.
No Emotivo. Activo. Secundario = Flemático.
No Emotivo. No Activo. Primario = Amorfo.
No Emotivo. No Activo. Secundario = Apático.

Mas allá de que los ilustres galos que parieron la idea se extiendan lo suyo con la explicación de los caracteres, y lo hacen, Napoleón y Miguel Ángel eran apasionados, la mayoría de los artistas son nerviosos, los buenos comerciantes y hombres de negocios suelen ser sanguíneos, Hitler era colérico y cientos de páginas por el estilo, yo, a esto, le doy un valor sólo ligeramente por encima del del horóscopo, para mí decir que alguien es sentimental, significa y me revela poco más que decir que es Piscis.

Por otra parte están la variabilidad y los estados intermedios. Te invito a que pienses que cada rasgo puro ocupa un eje de un sistema de coordenadas XYZ, en el que el grado de emotividad, actividad y resonancia te situarían en un punto en el espacio, siendo el problema real (y muy gordo) establecer una escala o medida de las tres variables. Por ejemplo, emotividad: una persona puede responder de modo muy emocional a un estímulo y quedarse tranquilamente sentada en su terraza ante otro de muy similar carga emotiva. Y en ese mismo sujeto habrá variaciones, según el día, la ocasión, el humor y otros mil imponderables.

Además, a mí el asunto me acaba pareciendo más una tipología moral que una tipología psicológica: emotivo es lo contrario de insensible y activo lo contrario de vago, el primario es más tarambana y el secundario tiene la capacidad de pensárselo mejor... Por no hablar de la nula aplicación del patrón en el ámbito educativo o de recursos humanos: oiga, ¿por qué ha suspendido mi hijo? Es que es un poco amorfo. ¿Y por qué no me han dado el trabajo? Es que hemos detectado que es usted un tipo apático... Pues no se hable más, oiga.

Matemáticas Y Diversión 24 - ¿En Qué Puerta Está El Coche?

A comienzos de los 70, una frívola novedad irrumpió en las grises pantallas de los hogares celtibéricos: se trataba del recordado programa concurso televisivo “Un, dos, tres, Responda otra vez”. Su éxito fue sin duda rotundo y perdurable, hasta que, décadas después, la fórmula estaba tan gastada que se había convertido en la imitación de la copia del duplicado del remedo de una pantomima que aburría, no ya a las abuelitas, sino a la pelusa de sus rebecas de punto. Los medios acostumbran a exprimir la gallina de los huevos de oro hasta degradarla a caldo en cubitos.

Por eso hoy cuesta creer que, durante las primeras temporadas, unos doce millones de carpetovetónicos ávidos de diversión esperásemos a las vigilias de los lunes con auténtica voracidad.

.. ¿Se llevarán los concursantes esta noche el coche? El coche, el coche, el premio máximo, comparados con el cual el resto de los obsequios parecían de chichinabo. El programa, en sus inicios, en aquella España donde la abundancia no se había presentado todavía, tenía un relumbrón que nos apabullaba. Además era entretenido y gracioso, creo recordar unas azafatas ataviadas de un modo que la censura actual no permitiría, y el agrio desenfado de don Cicuta, que le aupó al puesto de malo predilecto de millones de españoles, puesto que conservó hasta la llegada de Darth Vader.

Pero como esto es conocido de todo el personal, volvamos al coche. Había tres puertas cerradas y tras una de ellas estaba el objeto del deseo de todos mis compatriotas, por aquel entonces un año íntegro de salario apenas alcanzaba para el modelo más modesto ¡y allí había quien lo ganaba en un momento! Bueno, no era tan sencillo, un as de los trileros, el presentador Kiko Ledgard, torturaba a la pareja concursante con ofertas e insinuaciones, sembrando en su ánimo vacilaciones y dudas.

Voy a proponer un problema para curtir a una eventual pareja de concursantes, en el incierto pero no del todo descartable caso de que el concurso se reencarne: imagina las tres puertas, tras una de ellas está el ansiado coche, un Nissan Daukuenta. Las otras dos puertas ocultan sendas calabazas (el regalo sin valor del programa se llamaba doña Ruperta y era una simpática calabaza que cantaba una canción con los títulos de entrada del concurso). Concéntrate. ¿Qué puerta eliges. Ésta. Vale.

Ahora el presentador, abre una puerta y ves con alivio que tras ella hay una calabaza. El muy ladino te dice si ahora deseas cambiar tu elección o quedarte con la puerta que ya has escogido. ¿Qué haces? Igual acertaste con la del coche, te cambias y luego te pegas un tiro.

El insidioso presentador sugiere arteramente que te ha enseñado una calabaza como la que oculta la puerta que tú te obstinas en elegir. ¿Qué haces? ¿Qué haces?

Ni lo dudes: cámbiate. Si te cambias tienes el doble de probabilidades de las que tenías en un principio de acertar.

Voy a tratar de explicártelo. Hay tres posibilidades de partida. El coche está tras la 1ª, la 2ª o la 3ª puerta, pero como tú no sabes cuál es, elegirás al azar una de las 3, la marcada con una “X” en las ilustraciones, lo que da 9 posibilidades, de las cuales 3 son favorables, tu probabilidad de éxito es 3/9 = 1/3, como ya sabías.

Ahora bien, ¿qué pasa si te abre una de las puertas que no has elegido, enseñándote una calabaza. Si te quedas como estabas, sigue siendo 3 de 9, o sea, 1/3. Con una “P” señalo la que te puede abrir el presentador.

Pero prueba a contar qué posibilidades tienes si te cambias de puerta ¡6 de 9! ¡El doble! 6/9 = 2/3 (he marcado con una P la puerta que muestra el presentador y con una C la que te correspondería al cambiarte, obviamente si tras las puertas que no has elegido hay sendas calabazas, da igual que te muestre una u otra).

Aquí hay que hacer dos precisiones de corte psicológico. Las 6 veces que te cambias y ganas, tenías una calabaza, cojonudo; pero las tres veces que te cambias y pierdes, tenías el coche, con lo cual necesitarás ayuda médica especializada para superar el trauma.

La otra consideración atañe a la malvada charlatanería del presentador. Si siempre usa el recurso de mostrar una puerta no premiada, has de cambiar tu elección con los ojos cerrados pero, ay, si lo USA sólo en ocasiones, podría ser una manera de hacer que te pases de listo, pues el sabrá que cambiando tu elección doblas tus probabilidades y, en este caso, sólo te lo propondría si ya hubieras elegido el coche, aunque si tú sabes eso, podrías vadear su trampa y entonces...

Ya ves, como problema probabilístico es muy sencillo: la posibilidad de acertar se duplica. Como problema relativo al comportamiento humano es... irresoluble, claro, nos hemos internado en el terreno del engaño y la incertidumbre.   

Matemáticas Y Diversión 23. Divisores A Cascoporro

En la entrada número 600, lancé un guante que mi seguidor, ocupado en leer a Joyce en spanglish, no recogió. Ni él ni nadie, faltaría más, tampoco estamos en Corea del Sur donde, según me han contado, un buen profesor de matemáticas tiene el status que aquí es propio de estrellas políticas  o mediáticas y de otros malhechores fiscales. Como consecuencia, los surcoreanos proveen de monitores de televisión y teléfonos móviles a medio mundo y, nosotros, de camareros y segundas residencias a media Europa.

Antaño fui un profesor de matemáticas de secundaria mediocre, esforzándome por ser un docente del montón, en algunas plazas muy difíciles y es que, por si no lo sabías, hoy llegan a secundaria algunos muchachos incapaces de contar de tres en tres con un mínimo de soltura. Hala, ponte a enseñarles divisibilidad... Imaginaré, si has llegado hasta aquí, que cursaste un bachiller de los de antes y que descomponer un número en factores primos no tiene misterio para ti.

Lanzaba las preguntas, pues, el 3 de febrero de este año, en la entrada número 600 (que han visto casi 3 personas), de cuál es el número de tres cifras que tiene más divisores y cuántos números de tres dígitos igualan o superan al 600 en este aspecto, dado que el 600 tiene la nada despreciable cantidad de 24 divisores, que es nuestro punto de partida ¿vale?

Así pues, insisto, se da por supuesto que conocemos el método para descomponer un número en factores primos, por algo hay que empezar, y la pregunta clave será ¿cómo averiguamos cuántos divisores tiene ese número? Usaré el propio 600 para dar respuesta a esa intrigante cuestión. ¿Cuántos? Es el resultado de una multiplicación que construimos con tantos factores como números primos diferentes nos salen en la descomposición. ¿Y qué factores son esos? El número de veces que apareció cada número primo y una más. Sé que parece enrevesado pero es muy simple:
600 = 2x2x2x3x5x5. Salen tres factores diferentes: el 2,el 3 y el 5.
El 2, tres veces, así que una más es 4.
El 3, una vez, así que ponemos 2.
El 5, dos veces, así que una más es 3. De éste modo 4x2x3 = 24 divisores.
Te pondré varios ejemplos más:
400 = 2x2x2x2x5x5 Buscaríamos 5x3 = 15 divisores.
480 = 2x2x2x2x2x3x5 Habría que localizar 6x2x2 = 24 divisores.
675 = 3x3x3x5x5 Y tiene 4x3 = 12 divisores.
Si un número es primo, como el 127, pobre, sólo tiene dos divisores: lo puedes repartir entre 1 y entre 127 y se acabó. Volvamos al 600 y a mis libretas escolares:

24 divisores no está mal, veamos un par que lo superan: el 900 y el 720, con esta técnica elemental puedes averiguar alguno más antes de sufrir una leve cefalea...

Pero volvamos al tema principal, ¿cuál es el número de tres cifras con mayor cantidad de divisores (y sólo hay uno): ¡el 840!

En todos, click para agrandar

Para terminar te dejaré una manzana envenenada, aprovisiónate de Paracetamol y... ¿Cuál es el número más bajo que cuenta con 13 divisores? Has leído bien, 13.

Que te provean. 

Este pobre hombre, desconocedor de la divisibilidad,
fue incapaz de repartir su herencia entre sus 7 hijos
y se la quedó la DGA.

Matemáticas Y Diversión 22. El Mejor Número

Serie “The Big Bang Theory”, episodio 10 de la cuarta temporada. Transcribo una breve e interesante disertación. Habla el doctor Sheldon Cooper:

 - ¿Cuál es el mejor número? Por cierto: sólo hay una respuesta correcta.
...
 - No. El mejor número es el 73. ¿Os estaréis preguntando por qué?
...
 - El 73 es el vigésimo primer número primo. Leído al revés es el 37, que es el decimosegundo, que al revés es el 21, que es el resultado de multiplicar, agarraos fuerte, 7 por 3. ¿Eh? ¿Eh? ¿Os he mentido?
...
 - ...En binario el 73 es un palíndromo: uno cero cero uno cero cero uno, que al revés es uno cero cero uno cero cero uno, exactamente igual...

Obviando que no es decimosegundo, sino duodécimo y además, en español, palíndromo se refiere a una palabra o frase y, al referirnos a un número, empleamos el término capicúa, estarás conmigo en que es difícil topar con un número que reúna, en sí mismo, tantas curiosidades como el 73. Bravo por Sheldon, su erudición científica y su maravillosa pedantería.

Dejaré para otra ocasión en que tenga más ganas (o más pedantería), la explicación de un sencillo método para escribir cualquier número en binario y de otro, no tan sencillo, para averiguar si un número cualquiera, por ejemplo 2701, es o no un número primo.

...Y no son temas tan áridos.

En la entrada (10-5-2016) donde te pedí que usaras la lógica, seguramente pudiste determinar que:
En el primer caso, B es escudero y C es caballero.
En el segundo caso, A es caballero, mientras B y C son escuderos.
Y en cuanto a la pregunta infalible, debe formularse más o menos así: “¿Qué me contestarías si yo te preguntara por dónde se va al castillo de los caballeros?”

Matemáticas Y Diversión 21. ¿Podemos Fiarnos De La Lógica?

Mi creencia en el poder de esa disciplina llamada Lógica se ha debilitado mucho con los años y, en los últimos tiempos, he llegado a pensar que la pobre sirve tan sólo para resolver acertijos de sospechoso ingenio, viendo como en la política y en los medios informativos el sujeto X afirma el cumplimiento simultáneo de A y no A, cada vez que ambos sucesos le vienen bien para su propósito en el instante T, o asistiendo a la palmaria demostración de lo que a cada uno le conviene y al reinado del argumento ad hominem.

La lógica matemática siempre me ha parecido nebulosa y a los alumnos que disfruté en el pasado, no digamos: los pedagogos hablaban de que había que aprender sin darse cuenta, sin esfuerzo y divirtiéndose mucho; los psicólogos hablaban de “pensamiento lateral” y de “inteligencia emocional” y, siempre que oigo esos términos, me viene a la mente el recuerdo de un muchacho tratando de resolver el cubo de Rubik: como tuvo la fortuna de haberlo comprado en los chinos, despegó todas las etiquetas y las volvió a pegar en las caras de su conveniencia, hasta dejar todas y cada una del mismo color, ¡toma estrategia alternativa!

Así que cuando yo les contaba la paradoja de Cantor, en su versión del barbero, todos tenían una solución personal y ninguno creía que la cuestión fuera insoluble: “En un pueblo, el barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿quién afeita al barbero?”

Mi afición a los acertijos me llevó a un libro titulado “¿Cómo se llama este libro?” (en serio) y a proponerles a los alumnos el conocimiento de la isla de los caballeros y los escuderos, notables habitantes, los caballeros siempre dicen la verdad y los escuderos siempre mienten, lo cual da lugar a enredos lógicos, adivinanzas y más paradojas. Propondré un par de las más fáciles para solaz del lector:

En el primero, un extranjero llega a la isla y se encuentra a A, B y C. Les pregunta: ¿Cuántos caballeros hay entre vosotros? A contesta, pero en voz tan baja que no se le oye.
B aclara: ha dicho que hay un caballero entre nosotros.
Y C dice: No hagas caso de B, está mintiendo.
¿Qué son B y C?

Este segundo procede de la inventiva de un alumno, pues una vez que entienden que no se acierta de chiripa, ni tampoco el aspecto externo de caballeros y escuderos puede dar pista alguna, se aficionan al mundillo de los que siempre dicen la verdad o siempre mienten y, bueno, sus cerebros se activan:

El extranjero llega a la isla y pregunta a tres personas qué son cada uno. He aquí las respuestas:
A dice: B es escudero.
B dice: C es caballero.
C dice: Todos somos caballeros.
¿Quién es caballero y quién escudero?

Aunque he dicho dos, como soy escudero, me descolgaré con la más conocida de las adivinanzas de esa isla: vas por un camino y se bifurca, sabes que un ramal conduce al castillo de los caballeros y otro al acantilado de la muerte cierta, pero no sabes cuál tomar pues no conoces la isla. Hay un paisano sentado en el cruce, pero ignoras si es caballero o escudero: ¿qué le preguntas para seguir por el camino correcto? Aaaah…

El área y el volumen del cuboctaedro, vale, de la entrada pasada:

Para el volumen, voy a combatir la superficialidad de esta página con el enlace a una de Matemáticas de verdad, maja, de nivel e interactiva:

http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/espacio/volcuboctahedron.html

Matemáticas Y Diversión 20. El Cuboctaedro

Como creo haber señalado no sé cuándo, en la enseñanza actual de las Matemáticas, la Geometría ha quedado relegada al papel de la Cenicienta (la de antes del baile) y, dentro de la Geometría, el último rincón inexplorado, el último capítulo de los libros de texto, atiende a los poliedros, dedicándoles apenas cuatro líneas elogiosas, yo qué sé, “están presentes en tu hogar en forma de nevera o lavadora” o “gracias a ellos se inventaron las cajas de zapatos”… Entre los arrinconados poliedros, los cinco llamados regulares ¿nada más hay cinco? Preguntan aliviados los alumnos, sí, los llamados sólidos de Platón o poliedros regulares convexos son nada más cinco y forman una élite aristocrática cuyos miembros son tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro, dodecaedro y pare usted de contar.

Los poliedros semirregulares o, más propiamente, poliedros uniformes, constituyen una interesante familia totalmente desconocida para el alumno medio de Secundaria y, como no tengo otro quehacer fuera de las faenas domésticas, me apetece echarles un vistazo a algunos de ellos y traerlos a estas páginas con el ánimo ingenuo de darles la popularidad que merecen. Erradicados de las cajas de poliedros escolares, vagan por el mundo de los conceptos en busca de un divulgador, pues ahí voy: aguantad, sed fuertes.

Por poliedros uniformes se entiende aquéllos formados por caras que son polígonos regulares, añadiéndose otra condición: a cualquiera de sus vértices van a parar el mismo número de caras de la misma clase, dicho de otra manera: los vértices son “intercambiables”. El más sencillo que he encontrado es este cuboctaedro: formado por seis cuadrados (cubo-) y por ocho triángulos equiláteros (-octaedro), en cada vértice se reúnen dos cuadrados y dos triángulos. El sólido formado es muy armonioso, aunque mi torpe construcción en cartulina no le haga justicia: te adjunto el desarrollo, por si te animas a hacer manualidades. Su construcción es más fácil de lo que parece y permite estudiarlo a placer.

Tiene 8 + 6 = 14 caras. Sus aristas son (8 x 3 + 6 x 4) : 2 = 24. Y en cuanto a los vértices, donde se juntan cuatro caras, tenemos (8 x 3 + 6 x 4) : 4 = 12 vértices. Comprobamos que cumple la fórmula de Euler para poliedros: CARAS + VÉRTICES = ARISTAS + 2, esto es:
14 + 12 = 24 + 2, y nos quedamos tan anchos.

Observamos que todas las aristas tienen la misma longitud. Si la llamamos a, es muy fácil calcular la superficie total de las caras del poliedro, ¿verdad? Dejo para nota (y la solución en la próxima entrada) el aparentemente dificultoso cálculo de su volumen (solo para aficionados avanzados).

En fin, el reparto de la entrada anterior se salda dándole al pastor que tenía cuatro panes,
3 € y al propietario de los 5 panes, 6 €. Esta aparente “injusticia” es debida a que, si los compartieron, el primer pastor se zampó tres de los suyos y brindó uno al excursionista, mientras que el segundo pastor, suponemos que comió lo mismo y, de este modo, le sobraron dos para el excursionista muerto de hambre, por tanto su contribución fue del doble ¿no? Quizá aún están discutiendo…

Matemáticas Y Diversión 19. Un Reparto Sencillo...

Cuando aún mantenía una vivaz pelea con alumn@s de primero de Secundaria, éste era un problema que les planteaba frecuentemente con ánimo, no de agobiarles con chorradas, como ell@s daban en imaginar, sino más bien con la vana esperanza de hacerles cavilar un poquito, yo que sé, pensando quizá en su futuro como votantes o algo por el estilo…

Consignaré aquí una versión sencilla del problema, antes de que se me olvide, o tal vez suponiendo un eventual lector que se divierta un par de minutos dándole vueltas. Ahí va:

“Un excursionista camina por la montaña hecho polvo y muerto de hambre. Se encuentra con dos pastores y les pide algo de comer. El primero saca cuatro hogazas de pan (panecillos, para mis alumn@s) y el segundo, cinco. No es muy variado el menú, pero se sientan los tres amigablemente y comparten el yantar hasta terminarse todo, pues los pastores también estaban hambrientos. El excursionista, agradecidísimo, les besa los pies y les da nueve euros, todo lo que lleva… ¿Cómo deben repartirse los pastores la gratificación recibida?”

 - Como les dé la gana.

 - ¡A medias!

Un@ que se detiene a pensar un instante da con esta solución:

 - Pues cuatro euros para el primero y cinco para el segundo.

 

Parece obvio, ¿verdad? Sin embargo, no es correcto o equitativo, así que te dejo discurrir un ratillo. Facilísimo… ¿Y querrás creer que a l@s muchach@s no les acababa de convencer? ¡Lo encontraban rebuscado y ridículo!

Por cierto, como yo el uso del signo @, en plan “remedio contra el sexismo”. Cuando mis discentes (toma neutro) mostraban actitudes muy garrulas al respecto, yo solía explicar: “nosotras tenemos que pensar…” “Pero si nosotras observamos el problema…” Cuando las risitas detonaban en carcajadas, les remachaba: “nosotras, las personas, independientemente de nuestro sexo, estamos capacitadas para…” Cura de burro, oiga.

 

Bueno, regresando a las áreas propuestas en la anterior entrada de matemáticas y tomando 3’14 como aproximación de “pi” (no les permitía usar calculadora, soy así de ultramontano) las soluciones son 1) 5’375 cm²  y  2) 14’25 cm². Mañana, más.

Matemáticas Y Diversión 18. Dospierre Contra Pierredós

O más exactamente dos pi erre (2πr) contra pi erre cuadrado (πr²) ¿Podrá un profesor de último ciclo de primaria o primer ciclo de secundaria desbaratar la confusión que entre sus distraídos alumnos siembran ambas fórmulas? ¿Podrá conseguirlo sin medios interactivos, sin avances tecnológicos, sin ficheros multimedia, sin los ordenadores que Rodríguez Zapatero intentó poner en manos de todos los escolares españoles? Lo dudo mucho. O por lo menos, bastante.

Mal empezamos:
La "esfera" del reloj no es una esfera

 

Para empezar, miremos en un texto de sexto de primaria. Es muy dudoso (y lo he comprobado con unos cuantos) que ninguna de las dos expresiones se recoja en ellos. Se critica el despendole de los libros de texto, su número exorbitado, su coste demencial. Este año, para más INRI, en algunas comunidades han echado a rodar una nueva y peor reforma educativa, en otras, la han boicoteado, y en las de más allá, se lo están pensando. Todo lo cual repercute en qué textos serán válidos, cuáles no y para cuándo estarán listos. Esto, que parece alucinante, no es más que la punta del iceberg del despropósito educaciquil y edumercantil. La pregunta del millón es: ¿hay algún control técnico del contenido de los libros de texto y de su rigor? La respuesta es no. Y además, ¿quién lo haría? ¿Con qué autoridad? ¿Y con qué instrumentos? Un puro des π porre.

 

La fórmula  L = 2 x π x r , calcula una medida de longitud. Puesto que la circunferencia es una línea, un borde que no se puede medir con una regla, hay que hacer uso del conocimiento de que contiene tres veces y pico su diámetro, o el doble de veces su radio. π es un número fijo, lo que en matemáticas se llama una constante: lo solemos aproximar con 3’14 o 3’1416. Es un número real con infinitas cifras decimales a la buena de dios. Los helenos, que descubrieron la proporcionalidad entre la circunferencia y su diámetro, creían que estaban en una relación exacta de 22/7. A mí me gustaba mucho esta aproximación, pero anda, ve a convencer a los muchachos de que operen un producto con una fracción, ¿qué les habrán hecho las fracciones?

 

La fórmula  A = π x r² , calcula la superficie de una figura plana, el círculo, cuyo borde es una circunferencia. La distinción parece sencilla, pero entre cuadrado y doble, circunferencia y círculo, la confusión está servida. Los chicos, incluso los menos atolondrados, se hacen un lío y tres días más tarde ya no se acuerdan de nada, con lo que en el informe PISA nos ponen a bajar de un burro. Intento hacer un cuadro para que lo rellenen:

Radio en cm	Longitud circunferencia cm	Área círculo cm2
1
2
3
4
5	2 x 3’14 x 5 = 31’40	3’14 x 52 = 3’14 x 25 = 78’50
6
7
8	2 x 3’14 x 8 = 50’24	3’14 x 82 = 3’14 x 64 = 200’96
10

Hago la pregunta ¿en cuál nos podemos confundir? No espero una respuesta lógica y no la obtengo: “en cualquiera” me dicen. Y tienen razón, no confundir el doble y el cuadrado, en la actual enseñanza de las matemáticas, sólo está al alcance de los “cerebrines”.

En cuanto a la cuestión de dónde sale la fórmula para calcular el área del círculo, me remitía al tradicional polígono regular de muchísimos lados, hasta que descubrí este gif explicativo que resume todos mis esfuerzos anteriores. Échale un vistazo, mola.  

 

El último año que impartí 2º de ESO tuve que quitar estas dos áreas del examen para evitar una hemorragia de insuficientes. Si te entretiene, calculas el área de las zonas rayadas.