Como creo haber señalado no sé cuándo, en la enseñanza actual de las Matemáticas, la Geometría ha quedado relegada al papel de la Cenicienta (la de antes del baile) y, dentro de la Geometría, el último rincón inexplorado, el último capítulo de los libros de texto, atiende a los poliedros, dedicándoles apenas cuatro líneas elogiosas, yo qué sé, “están presentes en tu hogar en forma de nevera o lavadora” o “gracias a ellos se inventaron las cajas de zapatos”… Entre los arrinconados poliedros, los cinco llamados regulares ¿nada más hay cinco? Preguntan aliviados los alumnos, sí, los llamados sólidos de Platón o poliedros regulares convexos son nada más cinco y forman una élite aristocrática cuyos miembros son tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro, dodecaedro y pare usted de contar.
Los poliedros semirregulares o, más propiamente, poliedros uniformes, constituyen una interesante familia totalmente desconocida para el alumno medio de Secundaria y, como no tengo otro quehacer fuera de las faenas domésticas, me apetece echarles un vistazo a algunos de ellos y traerlos a estas páginas con el ánimo ingenuo de darles la popularidad que merecen. Erradicados de las cajas de poliedros escolares, vagan por el mundo de los conceptos en busca de un divulgador, pues ahí voy: aguantad, sed fuertes.
Por poliedros uniformes se entiende aquéllos formados por caras que son polígonos regulares, añadiéndose otra condición: a cualquiera de sus vértices van a parar el mismo número de caras de la misma clase, dicho de otra manera: los vértices son “intercambiables”. El más sencillo que he encontrado es este cuboctaedro: formado por seis cuadrados (cubo-) y por ocho triángulos equiláteros (-octaedro), en cada vértice se reúnen dos cuadrados y dos triángulos. El sólido formado es muy armonioso, aunque mi torpe construcción en cartulina no le haga justicia: te adjunto el desarrollo, por si te animas a hacer manualidades. Su construcción es más fácil de lo que parece y permite estudiarlo a placer.
Tiene 8 + 6 = 14 caras. Sus aristas son (8 x 3 + 6 x 4) : 2 = 24. Y en cuanto a los vértices, donde se juntan cuatro caras, tenemos (8 x 3 + 6 x 4) : 4 = 12 vértices. Comprobamos que cumple la fórmula de Euler para poliedros: CARAS + VÉRTICES = ARISTAS + 2, esto es:
14 + 12 = 24 + 2, y nos quedamos tan anchos.
Observamos que todas las aristas tienen la misma longitud. Si la llamamos a, es muy fácil calcular la superficie total de las caras del poliedro, ¿verdad? Dejo para nota (y la solución en la próxima entrada) el aparentemente dificultoso cálculo de su volumen (solo para aficionados avanzados).
En fin, el reparto de la entrada anterior se salda dándole al pastor que tenía cuatro panes,
3 € y al propietario de los 5 panes, 6 €. Esta aparente “injusticia” es debida a que, si los compartieron, el primer pastor se zampó tres de los suyos y brindó uno al excursionista, mientras que el segundo pastor, suponemos que comió lo mismo y, de este modo, le sobraron dos para el excursionista muerto de hambre, por tanto su contribución fue del doble ¿no? Quizá aún están discutiendo…
Los poliedros semirregulares o, más propiamente, poliedros uniformes, constituyen una interesante familia totalmente desconocida para el alumno medio de Secundaria y, como no tengo otro quehacer fuera de las faenas domésticas, me apetece echarles un vistazo a algunos de ellos y traerlos a estas páginas con el ánimo ingenuo de darles la popularidad que merecen. Erradicados de las cajas de poliedros escolares, vagan por el mundo de los conceptos en busca de un divulgador, pues ahí voy: aguantad, sed fuertes.
Por poliedros uniformes se entiende aquéllos formados por caras que son polígonos regulares, añadiéndose otra condición: a cualquiera de sus vértices van a parar el mismo número de caras de la misma clase, dicho de otra manera: los vértices son “intercambiables”. El más sencillo que he encontrado es este cuboctaedro: formado por seis cuadrados (cubo-) y por ocho triángulos equiláteros (-octaedro), en cada vértice se reúnen dos cuadrados y dos triángulos. El sólido formado es muy armonioso, aunque mi torpe construcción en cartulina no le haga justicia: te adjunto el desarrollo, por si te animas a hacer manualidades. Su construcción es más fácil de lo que parece y permite estudiarlo a placer.
Tiene 8 + 6 = 14 caras. Sus aristas son (8 x 3 + 6 x 4) : 2 = 24. Y en cuanto a los vértices, donde se juntan cuatro caras, tenemos (8 x 3 + 6 x 4) : 4 = 12 vértices. Comprobamos que cumple la fórmula de Euler para poliedros: CARAS + VÉRTICES = ARISTAS + 2, esto es:
14 + 12 = 24 + 2, y nos quedamos tan anchos.
Observamos que todas las aristas tienen la misma longitud. Si la llamamos a, es muy fácil calcular la superficie total de las caras del poliedro, ¿verdad? Dejo para nota (y la solución en la próxima entrada) el aparentemente dificultoso cálculo de su volumen (solo para aficionados avanzados).
En fin, el reparto de la entrada anterior se salda dándole al pastor que tenía cuatro panes,
3 € y al propietario de los 5 panes, 6 €. Esta aparente “injusticia” es debida a que, si los compartieron, el primer pastor se zampó tres de los suyos y brindó uno al excursionista, mientras que el segundo pastor, suponemos que comió lo mismo y, de este modo, le sobraron dos para el excursionista muerto de hambre, por tanto su contribución fue del doble ¿no? Quizá aún están discutiendo…
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