martes, 21 de abril de 2015

Matemáticas Y Diversión 15. Los Relajantes Polígonos Regulares

Para todos aquellos que se han visto desposeídos de su vieja calculadora Casio por su hijo que va a 2º de ESO, daré la solución a los números vampiros que propuse en la entrada del 31 de enero pasado. Los números vampiros de cuatro cifras que faltaban son:
  80 x 86 = 6880,   21 x 87 = 1827,  21 X 60 = 1260  y  35 x 41 = 1435.
El que encuentre uno de los 155 números vampiros de 6 cifras tiene más suerte, paciencia o sabiduría que yo. Y es merecedor de mi más sincero respeto.

Pero hoy trataré de relajar a la concurrencia con el último descubrimiento de los sabios congresistas de la buena vida, o del bienestar, que se reúnen uno de estos días en el sur de España. Uno de los ponentes, me pareció entender, dijo que, entre las tareas más apropiadas para hacer felices a hombres y mujeres de cualquier edad, está la de pintarrajear, con sus propias manos, es decir, de manera analógica, no vale con el ordenador, disponiendo los más variados coloringos por la superficie elegida, sea ésta el tradicional papel o el moderno vagón de un convoy de mercancías.

Y en lo que al pintarrajeo se refiere, una de las propuestas más sencillas y decorativas es la de trazar un polígono regular, inscribirle todas sus diagonales y entretenernos en combinar colores a nuestro gusto en las zonas que se nos determinan. Este relajante encargo solía yo llevarlo a término con alumnado de primero o segundo de Secundaria: el más popular era el octógono, fácil de trazar y resultón. Con polígonos de 4, 5 6 ó 7 lados, los resultados eran más sosos (menor número de zonas para combinar colores). Con polígonos de 9, 10, 11 y 12 lados, la cosa se complicaba en exceso, como se verá. Un fracasillo fue el dodecágono regular, fácil de trazar: a partir de un hexágono que todo el mundo sabe hacer con el compás, pues el lado equivale al radio del círculo que lo contiene y basta con llevar seis veces consecutivas la medida al borde; una vez tenemos el hexágono basta con hacer las mediatrices de sus lados y ya está, seis se convierte en doce.

 
De cada vértice del dodecágono, salen 12 – 3 = 9 diagonales. Como hay 12 vértices, serán 9 x 12 = 108 diagonales. Pero como cada una pertenece a dos vértices, 108 : 2 = 54 diagonales.

 
Como los muchachos han sustituido el Rotring por un rotulador negro y el compás por un artefacto que adquieren en un bazar chino, este fue uno de los mejores resultados: impintable ¿no?

 
A día de hoy, cualquier manco, con un programa de diseño vectorial, te lo hace perfecto, tal que así:

 
Aunque habíamos quedado en que esto no valía ¿o sí? La combinación de informática y bazares chinos ha ocasionado un destrozo en la habilidad manual de las jóvenes víctimas de la ESO. Yo apuesto doble contra sencillo a que, ni uno de cada diez, sabe el procedimiento para trazar un PENTÁGONO REGULAR o un HEPTÁGONO REGULAR y, para la próxima entrada, te reto a que lo recuerdes (y te recuerdo que Gandhi hablaba de las necesidad y las bondades de hilar o tejer todos los días un rato A MANO).

Pero volvamos al octógono: ¿cómo proceder para dibujarlo? Sencillísimo.

Se traza una circunferencia y, con la escuadra mismo, dos diámetros perpendiculares. Las bisectrices de estos diámetros, llevadas hasta la circunferencia nos dan, junto con ellos, las cuatro diagonales mayores.

 
Se traza el octógono uniendo los extremos de estas cuatro diagonales y ya se pueden trazar el resto. ¿Cuántas? 8 – 3 = 5 desde cada vértice. 5 X 8 = 40 en total. 40 : 2 = 20 descontando las repeticiones. Es importante saber cuántas, si no el alumnaje se lía.

 
Ya lo tenemos, hala ¡a pintar y a disfrutar! Este podría ser un resultado aceptable. El alumnado del Barça lo pintará de azul, granate y amarillo. El del Madrid combinará blanco, morado y, ocasionalmente, azul o negro. Cuatro colores deberían bastar para cualquier polígono, o eso dicen.

 
Para acabar una tabla de polígonos (no necesariamente regulares) y su número de diagonales:

Número de lados
Número de diagonales
3
0
4
2
5
5
6
9
7
14
8
20
9
27
10
35
11
44
12
54
13
65
14
77

Una vez observada la progresión de la columna de la derecha, podrías llegar fácilmente hasta el polígono de 93 lados. Dibujarlo sería otra cosa.
 

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